Para el sitio: Etimologías de Chile, lo incongruente es lo inconveniente, lo ilógico, lo incoherente, o sea lo no congruente, lo que carece de congruencia (DRAE). El adjetivo de la misma raíz se sigue usando en el giro ‘la porción congrua’, definida como ‘cuota que se considera estrictamente necesaria para el sustento (de los eclesiásticos)’ y que puede aplicarse en muy diversas y profanas situaciones. El verbo congruere, del cual procede el participio adjetival congruens, entis, significa: encontrarse estando en movimiento – estar de acuerdo – convenir – ser lógico. Limitado al ámbito eclesiástico primero, el término congruencia tiene presencia en derecho y matemáticas. – Gracias: Philippe Vicente

Así vemos que la palabra incongruente está compuesta con dos prefijos y un sufijo:El prefijo de negación in- (como en inaudito, incapaz e incertidumbre). Se relaciona con una raíz indoeuropea *ne-, presente el prefijo griego α-, αν- (a-, an- = negación). Este muestra su nasal originaria cuando se sitúa ante vocal, como en anarquía y anomia.

El prefijo con- (junto, reunido), como en concierto, conferencia, conversación. Este se asocia con la raíz indoeuropea *kom- (junto, cerca de), presente en el griego κοινός (koinos = común), de donde derivan koiné, cenobio, epiceno.

Un verbo oscuro gruere, cuya etimología se desconoce, pues se estima que es diferente al gruere que significa gritar como grulla.
El sufijo -nte usado para formar participios activos como detergente y urgente.

Otras palabras que tienen la combinación incon- e -nte incluyen:
Inconducente – que no guía completamente.
Inconfidente – que no se le puede tener toda la fe.
Inconstante – que no se establece completamente.
Inconveniente – que no es bueno o útil para venir completamente a un fin.

Por su parte el sitio Definiciones DE declara que se registra una incongruencia, por lo tanto, cuando no hay concordancia o conformidad entre dos o más elementos que deberían ser armónicos o tener un mismo sentido. La existencia de una incongruencia marca una disociación o una insensatez.

Supongamos que un hombre se presenta como militante comunista y asegura que le gustaría derrocar al sistema capitalista. Sin embargo, tiene cuenta en un banco internacional, realiza inversiones en la bolsa y dispone de cuatro propiedades que alquila para vivir de la renta. Puede afirmarse, por lo tanto, que hay una incongruencia entre lo que dice y lo que hace este sujeto: un comunista debería estar en contra de los grandes capitales.

La Organización Mundial de la Salud (OMS), por otra parte, denomina incongruencia de género a la transexualidad. Durante mucho tiempo, la transexualidad fue considerada como un trastorno, aunque luego la OMSpasó a calificarla como una condición relativa a la salud sexual. Algunas asociaciones que defienden los derechos de los transexuales, de todos modos, sostienen que el concepto de incongruencia de género es estigmatizante.

A la vez que ofrece este ejemplo: “La incongruencia del árbitro fue notoria: ante una misma situación, en ocasiones sancionó falta y en otras, no cobró nada“Que el candidato a alcalde nunca haya vivido en la ciudad es una incongruencia”“Ya me cansé de tus incongruencias: siempre me pides dinero prestado porque dices que no tienes para comer y, sin embargo, te la pasas en bares y de fiesta”.

Google por su parte compila los siguientes ejemplos:
Falta total de coherencia entre varias ideas, acciones o cosas.
“no veo yo incongruencia alguna entre la ternura, decoro y nobleza que trasunta cada palabra de Cervantes y las irregularidades o aun la abyección que algunos le reprochan”

Conducta o expresión que contradice a otra, o no guarda con ella una relación lógica.
“un discurso lleno de incongruencias”
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Ahora centrémonos en el definición de su antónimo: La Congruencia

El vocablo latino “congruens”, congruencia significa convenir, estar de acuerdo, tener coherencia entre dos elementos o cosas, ser lógico u oportuno.

En ética la define como la armonía y balance que existe entre nuestros pensamientos, acciones y emociones; donde nuestras acciones son un reflejo de nuestros pensamientos y emociones, con un elemento importante adicional de conciencia.

El diccionario de la real academia dice: una persona de actuación congruente es aquella que obra en vistas a la consecución de los fines que se ha propuesto, o sea, en forma lógica. Un ser humano de pensamiento congruente es aquel que elabora ideas coherentes, ordenadas y sistematizadas lógicamente.

En el ámbito religioso

Se emplea para designar a la gracia divina que sin destruir la libertad humana, obra sobre la persona

Aplicada a la justicia

El principio de congruencia procesal implica por un lado que el juez no puede ir más allá del petitorio ni fundar su decisión en hechos diversos de los que han sido alegados por las partes, y por otro lado la obligación de los magistrados es de pronunciarse respecto a todos los puntos controvertidos.

Hace a la garantía del debido proceso, que marcan al Juez un camino para poder llegar a la sentencia, y fijan un límite a su poder discrecional. … La congruencia aquí se manifiesta en la adecuación entre lo pedido y la decisión judicial contenida en la sentencia.

La congruencia procesal penal se ubica en el principio acusatorio según el cual debe existir un acto de acusación, una separación de las funciones de acusar y juzgar y una correlación entre la acusación y el fallo que se emita.

Aplicada a la comunicación:

Es el patrón  en el que el emisor da mensajes contradictorios en los niveles verbal y no verbal, pero con la ausencia de veracidad, coherencia y sinceridad pues lo que estamos diciendo o haciendo no es lo que estamos pensando o sintiendo.

En las matemáticas y la geometría

Establece que dos números enteros al ser divididos por el mismo número natural (m) poseen idéntico resto, o que dos expresiones algebraicas aparentemente distintas, tienen igual resultado. En este sentido coherencia significa igualdad, que se representa por tres rayas horizontales colocadas entre los dos números o expresiones algebraicas, y que puede aplicarse también a las figuras geométricas. Dos ángulos de igual medida son congruentes. Dos triángulos son congruentes si poseen los mismos ángulos, y las medidas de sus lados son iguales.

Una compilación de Fabián Sorrentino de las fuentes expresadas en el texto.